domingo, 11 de março de 2012

NÚMEROS RACIONAIS E FRAÇÃO GERATRIZ

Números Racionais e as Frações

Um número racional  pode ser escrito na forma:
p


q

onde p e q são números inteiros, sendo que q deve ser não nulo, isto é, q deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos p/q para significar a divisão de p por q. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como Q para entender que este número é um número racional.
Os números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros.
 Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

 Indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

p,qrrrrr...

onde p, q e r são números inteiros, sendo que o número r se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses.

Exemplos: Dízimas periódicas

1.    0,3333333... = 0,3
2.    1,6666666... = 1,6
3.    12,121212... = 12,12
4.    0,9999999... = 0,9
5.    7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1.    0,333333... = 0,3
2.    3,636363... = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1.    0,83333333... = 0,83
2.    0,72535353... = 0,7253


Os números racionais e os números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que
podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima?
A representação da fração 10/4 em números decimais é 2,5 , assim como a representação decimal da fração 6/4 é 1,5.
Nos dois exemplos a representação decimal é finita, gerando um decimal exato. 
Agora qual seria a representação decimal da fração 87/495?
Neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, não será um número finito. 87 dividido por 495 é igual a 0,1757575...,o que chamamos de dizima periódica.
As dízimas periódicas podem ser simples ou composta, no caso do exemplo acima temos uma dízima periódica composta.
A dízima periódica composta 0,1757575... foi gerada a partir da fração 87/495, por isto esta fração é chamada de fração geratriz da dízima periódica.



Transformação de  Dízimas Periódicas Simples em Frações Geratrizes

Para transformar a dizima periódica simples 0,888...  em uma fração geratriz basta chama-lá de x. Assim, temos que x=0,888...( equação 1 ), em seguida analisamos o período, no caso " 8 " e por ter apenas um algarismo multiplicamos ambos os membros por 10. Assim obtemos a equação 2:
                     
                            x=0,888... ( 1 ) (multiplicar por 10 )
                       10x=8,888... ( 2 )

Em seguida subtraímos uma equação da outra e isolamos x, gerando a fração geratriz, conforme adiante:

                       10x=8,888...
                     -     x=0,888...
                         9x=8
                           x=8
                               9

Outros exemplos:

a) 0,121212...

                            x=  0,121212... ( 1 ) (multiplicar por 100 )
                     100x=12,121212... ( 2 )

                      100x=12,121212...
              -              x=  0,121212...                 
                         99x=12
                             x=12
                                 99

b) 0,245245245...

                          x=    0,245245245... ( 1 ) (multiplicar por 1000 )
                 1000x=245,245245245... ( 2 )

                 1000x=245,245245245...
              -           x=    0,245245245...                 
                   999x=245
                          x=245
                              999

Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos:  

0,111... = 1/9

0,252525... = 25/99

0,123123123... = 123/999 = 41/333 (fração irredutível)

Caso a dízima possua uma parte inteira, basta juntar a parte inteira com
o período e subtrair deste número formado a parte inteira, e assim obtemos o numerador, já para o numerador utilizamos tantos dígitos  9, quanto forem os dígitos do período.


5,7373...= 

573 – 5/ 99= 568/99

Transformação de  Dízimas Periódicas Compostas em Frações Geratrizes

0,171353535... =

17135 – 171/ 99000 = 16964/99000 = 4241/2475

O número 17135 é formado pela junção do anteperíodo, 171, com o período, 35. Ao subtrairmos deste número o anteperíodo, obtemos 16964, o numerador da fração geratriz. O denominador é formado por tantos dígitos 9, quantos são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas periódicas simples, seguidos de tantos dígitos 0, quantos são os dígitos do anteperíodo.




5 comentários:

  1. E tinha esquecido das geratris

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  2. Como faz quando numa dizima composta o antecedido é 0?

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  3. Quer dizer quando o anteperiodo é 0

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  4. exemplo 4,03535... = 4035 - 40/990 = 3995/990

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